INTRODUCCIÓN

TEMAS SELECCIONADOS A CONTINUACIÓN:

- Secciones cónicas
- La parabola
- La derivada

Aparecen explicadas paso a paso y con algunas imágenes incluidas.

Atte: Karina Aglae Gutiérrez Cárdenas

SECCIONES CÓNICAS

Existen diferentes formas de construir la ecuación de la circunferencia y depende de los datos que nos dan.
Ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es: (x-h)²+ (y-h)²= r² a) CASO 1
Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene el centro en el origen y radio de 4
Ejemplo:
(x-0)² + (y-0)²= r²
x² + 0 + 0 + y² + 0 + 0 = 4²
x² + y² = 16




B) CASO 2
Ejemplo:
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-2,5) y radio 6
Fórmula de ecuación reducida
(x-h)²+ (y-k)²= r²
(x- 2) ²+ (y - 5) ²= 6²
x²+ 4x + 4 + y²- 10y + 25 = 36
x² + y² + 4x – 10x + 29 – 36 = 0
x² + y² + 4x – 10y – 7 = 0




C) CASO 3
Ejemplo:
Desarrolla la circunferencia que pasa por el punto (2, -3) cuyo centro (4, -3)

1) Sacar la distancia.
2) Formar la ecuación reducida «tomando el centro»
ejemplo:
(x - x ) ² + (y - y ) ² = d
(4 – 2) ² + (-3 + 3) ² = d
(2) ² + (0) ² = d
4 + 0 = d
r = 4
(x-h)²+ (y-k)²= r²
(x-4) ²+ (y + 3) ²= 4²
x²- 8x + 16 + y²+ 6y + 9 = 16
x² + y² - 8x + 6y + 16 + 9 = 0
x² + y² - 8x + 6y + 25- 16 = 0
x² + y²- 8x + 6y + 9 = 0




D) CASO 4
Encontrar la ecuación de la circunferencia. Si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos P(6,2) Q(-2,-4)

1_Usaremos x + x para determinar el punto medio 6 – 2/2 = 2
y + y/2 = PM 2 – 4/2 = -1
PM = (2, -1)

2_ calculamos el valor de la circunferencia entre el PM y PMx extremo de la circunferencia.
r² = (6 - 2)² + (2 + 1) ²
r² = (4)² + (3)²
r² = 16 + 9
r² = 25 r = 5

x² + y² - 4x + 2y – 20 = 0



E) CASO 5
Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto central (10, -5) y que es tangente.

FORMULAS
1.Ax + Bx + C
^A² + B²

2.(x-h)² + /y-k) = r²

LA PARABOLA

En matemática, la parábola es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio)






Lado recto



















El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.





Semejanza de todas las parábolas
Todas las parábolas son similares, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.








Tangentes a la parábola


La tangente bisecta el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

LA DERIVADA

FORMULA DE LA DERIVADA

Es una función continua con respecto a una variable el incremento de la función del talle Δy Δx = 0 Si existe limite es llamada derivada de la función.
La derivada es una tasa de cambio promedio se aplica para cálculos.


 Representaciones de la derivada
Y’ , f’(x), dy/dx, df/dx = Dxy

 Regla General de la derivada
F(x) =an
F(x) = anx

Ejemplos:
6x²=12x, 4x³=12x², 10x²-6x=20x-6

REGLA DEL PRODUCTO

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda"
La formula es: F(x)= ab’ + ba’

Ejemplos:

F(x) = (4x – 7)(5x² + 2)
F’(x) = (4x – 7)(10x) + (5x² + 2)(4)
F’(x)= 40x² -70x + 20x²+8
F’(x)= 60x² - 70x + 8


F(x) = - 7x²(-x² +x - 2)
F’(x) =(-7x²)(-2x+1) + (-x² +x -2)(-14x)
F’(x)= 14x³ -7x² +14x³-14x² +28x
F’(x)= 28x³ - 21x² + 28x

REGLA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

La formula para derivar una función cociente es: f’(x) = ba’ – b’a
b²

Ejemplos:
g’(x) = x – 3 numerador
x² - 5 denominador

g’(x) = (x² - 5)(2x) – (2x)( x²)
(x² - 5)²

Y = 5x
2 – 3x
Y’ = (2 – 3x)(5) – (-3)(5x)
(2 – 3x)²
Y’= 10 – 15x +15x
(2 – 3x)²
Y’= 10
(2 – 3x)²

REGLA DE LA CADENA

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivar 6x (8x² + 6x – 4)
F’ (x) ab’ + a’b
Y la regla de la cadena se utiliza para derivar funciones de grado superior (están elevadas por un exponente)

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo:
f(x) =(2x³ +)² la regla de la cadena es:

Si “u” es el polinomio
La función f(x) = u
Su derivada es f(x) = (u) (u)

Ejemplos:
F(x) = (5x + 4)³
F(x) = 3 (5x + 4)²(5)
F(x) = 15(5x + 4)²

Y = ½(x² - 7)²
Y= 2(½)(x² - 7)(2x)
Y= 2/2 1 /2x)(x² - 7)
Y= 2x (x² - 7)